선형대수의 내적공간(적분사용)과 직교벡터

사전지식.

- 내적공간의 일반기호는 {V, <, >}, 내적벡터의 일반기호는 {R^n, ·  } 으로 표현한다.

- 직교벡터란 기저(축, 차원, 틸다)가 서로 수직인 벡터를 말한다.

- 직교보공간 V^⊥ 는 보수(Complete)와 같은 개념이다. 벡터공간에서는 U = V + V^⊥

즉 집합에서는 여집합 U = V + V^c , 실수에서는 역원 a x a^-1= 1, 행렬에서는 역행렬 M x M^-1= In(n차 단위행렬).

- 내적( inner product ) 벡터의 내적 |V| = A(a1 ,a2) x B(b1, b2) = | (a1xb1) + (a2xb2) | = 대응항끼리 곱하고, 결과를 더한다. 내적값은 양의 실수가 된다.(면적은 음수가 될수 없다.)

- 벡터A, B의 내적공간 S = |A · B| =  0 이 된다면, S = {A, B}는 직교벡터=직교집합 이라고 한다.

예). A=(1,0), B=(0,1) = | A x B | = | 1x0 + 0x1 | = 0 , ∴ {A, B} 는 직교벡터=직교집합이다.

- 0에서 1까지 적분(인티그랄)  ∫^0->1 정적분 사용예

내적공간 { V, <,> }은 V = {f| f:R->R, f는 연속함수} 에서 내적을 구하는 함수식은 다음과 같다. 

<f,g>≡ ∫^0->1f(x)g(x)dx (*주) dx = 델타dx  = x의기울기 = x의 계수 = (끝점-시작점)/x = 1

A = 1, B = x - (1/2), C = x² - x 라고 할때 S = { A, B, C } 는 직교집합인가?

<A,B> = 0, <B,C>=0, <A,C>=0 이 되는지 확인한다.

- 부정적분 공식사용 = ∫xⁿdx = 1/(n+1) * xⁿ⁺¹+ C ( n ≠ -1 )

<A, B> = (x-(1/2)x⁰)dx => 공식적용 = (1/2)x² + (-1/2)x = x²/2 - x/2 => x가 1로 근접하면 ∴ 0

<B, C> = (x-(1/2)x⁰)(x²-x)dx => 위 계산에서 이미 x-(1/2) = 0  ∴ 0

<A, C> 위 부정적분 계산 공식을 적용한 적분계산 풀이는 아래와 같다.

∫^0->1(x²-x)dx = (1/3)x³ + (-1/2)x² => x가 1로 근접하면 (1/3) - (1/2) = -1/6

∫^0->1(x²-x)dx = [(x³/3) - (x²/2)]^0->1 = (1/3) - (1/2) ≠ 0,  ∴ 내적공간이 0이 아니라서 {A, B} 는 직교집합(직교벡터)가 아니다.

- 적분 계산기로 검증 

http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=aaa3a39ecb096daff4d431a2e7abaff7 (미적분 계산기)

- 벡터 Ai x Bi 가 직교벡터인지 확인할 때 정규화(normalization) 과정[=벡터를 단위벡터로 만들는 과정 = (Ai /|Ai|) x (Bi/|Bi|) ] 이 사용된다.

- 행렬 M의 역행렬 M^-1 = 행과열을 바꾼 전치행렬 M^T , 이 성질을 만족하면 직교행렬(직교집합,직교벡터)라고 한다.

- 행렬 M이 직교행렬이라면 => M의 행렬식은 1(회전변환) 또는 -1(대칭변환) 이다.

- 직교행렬의 행벡터들의 곱은 단위직교집합(항의 값이 = 1)을 이룬다.

- 단위직교집합이란 길이가 1이면서 서로 직교인(내적=0)인 벡터들의 집합이다.

- 내적공간 {V, <,> } 에서의 선형변환 T가 벡터의 크기를 보존한다면,

  즉, 모든 벡터 A에대해 ||T(A)||=||A|| 처럼 공간의 크기가 같다면 T를 직교변환이라고 한다.

  벡터공간 R², R³ 에서 회전변환과 대칭변환은 직교변환이다.

- 내적공간 {V, <, >}에서 내적공간 {W, <, >}로의 선형변환 T에 대해 다음은 서로 동치이다.
   ① T가 직교변환이다.
   ② V의 임의의 모든 벡터 A,B 에 대해< T(A),T(B)> = < A,B > 이다.
   ③ V의 단위직교기저 에 대해, {T(A₁), T(A₂), ... T(A_n)}은 W에서 단위직교집합이다. 

   ④ 단위직교기저에 의한 T의 대응 행렬 M은 M^TM = I 를 만족한다.