선형대수 행렬의 고유값, 고유벡터, 고유공간 구하기

행렬의 곱을 일차결합형식으로 표현가능한 벡터공간(행렬)을 고유벡터라고 한다. 고유벡터의 일차결합에 사용되는 계수를 고유값이라고 한다.

식으로 표현하면, 행렬M, 고유벡터A, 고유값λ(람다) 으로 표기한다.

MA = λA                 1  -1  2

예를 들면, 행렬 M =  0   0  2  에서 1)고유값  2)고유벡터  3) 고유공간 을 구하면?

                             0  -1  3

1) 특성방정식을 이용해서 λ 고유값을 구한다.

| M - λI3 | = 0    1  -1   2     λ   0   0            1-λ   -1      2

                     |  0   0   2  -  0   λ   0  | = |   0      -λ      2  | = M23 을 기준으로 행렬식을 구하면 = -2(λ-1) = 2-2λ = 0

                        0   -1  3     0   0   λ            0      -1    3-λ

∴ 고유값 λ = 1

2) 고유벡터A는 (M-λI3)A = 0 행렬방정식에서 λ 값을 대입하여 A를 구한다.

   1  -1   2     1   0   0                            0   -1   2           x         0

(  0   0   2  -  0   1   0  ) X 고유벡터A  = ( 0   -1   2  ) X (  y  ) = ( 0  ) => -y + 2z = 0 의 선형변환식을 구할 수 있다.

   0   -1  3     0   0   1                            0   -1   2           z        0

∴ y = 2z              x                                                                    1          0

∴ 고유벡터 A = ( 2z ) = 일차결합형(계수x단위행렬) k1E1 + k2E2 = x( 0 ) + z( 2 ) 로 분해 할 수 있다.

                          z                                                                    0          1

3) 고유공간(일차종속되는공간)을 구하면? 위 고유벡터의 단위행렬E1, E2의 세로행 -> 가로행으로 변환(죄표구하기) 하면 된다.

∴  R^3 차원벡터에서 E1(1,0,0), E2(0,2,1) 를 기저(축,차원)으로하는 2차원 부분공간이 고유공간이다.

Ps1) 삼각행렬의 행렬식을 이용해서 고유값 λ를 구하는 예제.

행렬식 = 0, | MA - λI3 | = 0

           1  2  3     λ  0  0         1-λ    2     3

|M| = | 0 4  5  -  0  λ  0 | = |   0    4-λ   5  | => 상삼각행렬의 행렬식은 주대각원소를 곱하면 된다.

           0  0  6     0  0  λ           0     0    6-λ

∴ M행렬의 행렬식 |M| = (1-λ)(4-λ)(6-λ) = 0

∴ 고유값 λ는 해가 3개(3차방정식)가 된다. 1, 4, 6

Ps2)수식을 입력할때 사용하는 한글자음에 매핑되는 특수문자 키는 아래와 같다. (사용법: 한글자음 + 한자키 = 특수문자나열)

ㄱ기술 기호(38)！＇，．／：；？＾＿｀｜￣、...
ㄴ괄호 기호(23)＂（）［］｛｝''""〔〕〈...
ㄷ학술 기호(48)＋－＜＝＞±×÷≠≤≥∞∴♂...
ㄹ단위 기호(93)＄％￦Ｆ′″℃Å￠￡￥¤℉‰...
ㅁ일반 기호(74)＃＆＊＠§※☆★○●◎◇◆□...
ㅂ개선 조각(68)─│┌┐┘└├┬┤┴┼━┃┏...
ㅅ표제 기호(56)한글㉠㉡㉢㉣㉤㉥㉦㉧㉨㉩㉪㉫㉬㉭...
ㅇ표제 기호(82)영,숫자ⓐⓑⓒⓓⓔⓕⓖⓗⓘⓙⓚⓛⓜⓝ...
ㅈ숫자(30)０１２３４５６７８９ⅰⅱⅲⅳ...
ㅊ숫자 기호(분수,첨자)½⅓⅔¼¾⅛⅜⅝⅞¹²³⁴ⁿ...
ㅋ한글 낱자ㄱㄲㄳㄴㄵㄶㄷㄸㄹㄺㄻㄼㄽㄾ...
ㅌ한글고어낱자ㅥㅦㅧㅨㅩㅪㅫㄸㄹㅮㅯㅰㅱㅲ...
ㅍ로마 문자ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪＫＬＭＮ...
ㅎ그리스 문자ΑΒΓΔΕΖΗΘΙΚΛΜΝΞ...
ㄲ라틴문자ÆÐĦIJĿŁØŒЗŦŊæđð...
ㄸ일본 문자(히라까나)ぁあぃいぅうぇえぉおかがきぎ...
ㅃ일본 문자(가다가나)ァアィイゥウェエォオカガキギ...
ㅆ러시아 문자АБВГДЕЁЖЗИЙКЛМ