선형대수의 마지막은 근사해

선형대수의 마지막이 근사하다는 제목으로 코믹하게 이번 선형대수 포스트를 마무리 지으려고 합니다.

통계에서 사용되는 분포곡선을 구할때, 선형대수의 행렬 변환이 사용되게 됩니다.

사전지식:

-정사형벡터: 수직으로 쏘아주는 그림자를 의미하는 벡터(아래)

-근사해: 방정식의 해는 아니지만, 해에 가장 가까운 값을 말한다.즉, 위에서 언급한 정사형벡터를 말한다.(아래)

-최소 자승법(Method of Least Squares) 이 사용됩니다.
 의미: 측정값을 기초로 해서 적당한 제곱 합을 만들고 그것을 최소로 하는 값을 구하여 측정결과를 처리하는 방법

 하지만, 실제론 아래처럼 최소자승법을 사용하지 않고도, 행렬방적식으로 구할 수 있습니다.

결과는 아래 그림처럼 분포점들의 평균값을 시각적인 그래프로 표현하게 되면 일정한 패턴이 눈에 보이게 됩니다.

그럼 이러한 분포의 평균적인 흐름인 1차근사그래프를 구하기위한 풀이를 진행해 봅니다.

위 표를 벡터공간으로 표시합니다. Vn(xn,yn)={ V1(-4,1),V2(-1,0),V3(2,1),V4(3,1),V5(5,2) }
1)행렬방정식표현 = axn+b=yn => -4a+b=1, -1a+b=0, 2a+b=1, 3a+1=1, 5a+1=2
  결과적으론 1차근접곡선 y=ax+b 를 구하기 위한 a(계수),b(상수)를 구하면 된다.
                      -4  1              1
                      -1  1     a        0
2)행렬표현 = A( 2  1 )*(   ) = ( 1 )
                       3  1     b        1
                       5  1               2
  
3)정규시스템화 = 양변에 A의 전치행렬 A^T을 곱한다.
                               -4  1                                         1
       -4 -1 2 3 5          -1  1       a            -4 -1 2 3 5     0
A^T (                 ) * A( 2  1 ) * (     ) = A^T (               )*( 1 )
        1  1 1 1 1            3  1        b             1  1 1 1 1      1
                                 5  1                                         2

                5  5       a       11
4)간소화 (         ) (     )  =

                5  5       b        5

5)이원1차연립방정식으로표현
55a+5b = 11
 5a+5b = 5
6)풀이
a=3/25, b=22/25
7)결과 1차근접곡선=> y=(3/25)x+22/25