선형대수의 차원에서 일차독립과 일차종속

우선 유클리드공간(유한차원)인 벡터공간에 대한 개념을 좌표로 표현한 그림으로 상상해 봅니다.(아래)

기저(좌표의축)이 {E1,E2} -> {F1,F2}로 변환 한 후 벡터A 의 크기는 변하지 않지만, 좌표(방향)가 변경된 모습입니다.

위 그림에서 A~틸다(기저=basis)에서 E1, E2 처럼 계수kE1, kE2(k스칼라값X벡터공간=일차연결) 로 모든 공간을 포함(종속된다)하면, 그 기저를 표준기저 라고 한다. * 예, (2,0) = 2E1 = 2x(1,0)으로 표현으로 모든 축을 표현가능) 벡터의 수학은 용어의 향연^^입니다.

그러면, A기저의 벡터 A(2,4) 의 좌표는 B기저 에서 좌표가 어떻게 바뀔까?

기저～A의 벡터(2,4) => 기저～B={ (√3/2, 1/2), (-1/2, √3/2) } 에서는 ( w(√3/2,1/2),z(-1/2,√3/2) ) = ( (√3/2)w-(1/2)z ), ( (1/2)w+(√3/2)z ) ) = (2, 4) 의 w, z 가 기저 B에서의 벡터이다 결과는 ( 2+√3, 2√3-1 ). 좌표축인 기저가 바뀌면, 기저별 좌표:(2,4) -> (2+√3, 2√3-1) 와 면적:2x4 -> (2+√3)x(2√3-1) 2가지가 변화하지만, 벡터A의 크기는 √20 으로 변하지 않네요. 신기합니다!

일차독립과 일차종속은 R^n = {R1,R2,R3...Rn} 으로 표현된 수열에서 

일차독립 이라면, 해당 차원(n차원=n개의 기저basis=~(틸다기호로표시)=좌표에서 n개의 축)으로 표현된다는 말이고,

일차종속 이라면, 같은 선분, 같은 평면, 같은 공간에 속한다는 말이다.

일차독립 예를 들면,

R3 = { c1(1,0,0), c2(0,1,0), c3(0,0,1) } 로 3축 으로 표현가능한 점 c1, c2, c3 가 있다고 한다면,

( c1(1,0,0) + c2(0,1,0) + c3(0,0,1) ) - (c1,c2,c3) = (0, 0 , 0) = 항상 0벡터 가 되기 때문에, 주어진 3개의 점벡터는 일차독립이다.

그래서, 일차독립은 시각적으로는 공간에 표시된다.

*용어: R^3의 표준기저 = { E1(1,0,0), E2(0,1,0), E3(0,0,1) }, R^2의 표준기저 = { E1(1,0), E2(0,1) } 즉, 좌표에서 단위가 1인 축을 말한다.

일차종속 예를 들면,

두 점벡터 R2 = { c1(1,1), c2(2,2) } 는 2축으로 표현가능한 점 c1, c2가 있다고 한다면,

( c1(1,1)  + c2(2,2) ) = -2(1,1) + 1(2,2) = (0,0) = 항상 0벡터가 되야 한다. 하지만,

=> c1=-2, c2=1 일때만 0벡터가 되며, 0벡터가 아닐때가 존재 때문에, 주어진 2개의 점백터는 일차종속이다.

=> 즉, 두 점 c1(1,1)과 c2(2,2)는 한 선분의 점이다. 2개의 점은 2개의 축으로 표현이 불가능 하고, 1개의 축으로 표현된다.

참으로 헷갈린 용어들의 나열로 구성된 설명입니다.

차라리 행렬식이 0 이 되지 않을때 독립적이라고 기억하는 편이 좋습니다.

             1   0   0

즉 R3 =   0   1   0  의 행렬식 |R3| = 1-0 = 1 입니다. 즉, 일차독립 (3차원 벡터가 맞습니다.)

             0   0   1

R2 =  1  2   행렬식 |R2| = 2 - 2 = 0 입니다. 즉, 일차종속 ( 2차원 벡터가 아닙니다.)

        1  2   *(주) 주어진 벡터를 행렬식을 위한 행렬로 변환할때, 행을 열로 배치 하는 것에 주의 합니다.