선형대수의 역행렬 구하기

파이썬·장고·루비·알고리즘

by 김일국 2017. 7. 6. 13:42

방송대 3학년 기말고사 마친 후 2학기 시작 전까지 틈틈이 수학공부를 하고 있습니다.

지난주에 이산수학을 마치고, 선형대수를 공부하고 있는데요, 오늘 역행렬을 구해서 일차연랍방정식의 해법을 공부했습니다.

사용되는 정의가 꼭 기억해야 하는 부분이라서 기록하지 않으면, 나중에 재 사용이 힘들듯 해서 기록으로 남깁니다.

* 실행조건: 일차연립방정식의 미지수의 개수와 방정식의 개수가 같아야 합니다.(정방행렬=정사각행렬)

* 행렬식 구하는 방법: 여러가지 방법중 n차 정방행렬의 1개 행의 여인수 전개를 이용해서 행렬 A의 행렬식(상수)를 구합니다.

* 아래 작업에서 헷갈렸던 부분은 A(aij) 행렬식을 구할때, aij x Mij(여인수부호x소행렬식) 의 aij 를 곱하는 부분과

역행렬 구할때 Mij(여인수부호x소행렬식) 에서 aij를 곱하지 않는 부분이 틀리다는 것이 중요합니다.(아래 계산결과 참조)

예 )

3x - y - 3z = -1

x + 2y + z = 3

2x + 3y + z = 4

1) 1개 행의 여인수 전개를 한다. A = (aij) 에서 i+j 위치가 홀수일때 -부호를 붙인다. = -1의 (i+j)자승을 곱한다.

3 -1 -3

|A| = 1 2 1 = 2행에 대한 aij x 여인수 전개 한다면 Σ[j=1:3] a2j * (-1)(2+j)^2 * 소행렬식M2j = -1(-1+9) +2(3+6) -1(9+2) = -1

2 3 1

*참조: 소행렬식 M23 예(9 - (-2)) =

2) 수반행렬(딸림행렬) adjA를 구한다. (구하는 방법은 A(aij)에 대한 각 소행렬식구하여 여인수로 전개한 여인수행렬을 만든 후 전치행렬로 변환한다.)

(2-3) (1-2) (3-4) -1 -1 -1

소행렬식 = (-1+9) (3+6) (9+2) = 8 9 11

(-1+6) (3+3) (6+1) 5 6 7

-1 1 -1

여인수용부호변경(홀수위치-1) = -8 9 -11

5 -6 7

-1 -8 5

전치행렬로 변환 = adjA = 1 9 -6

-1 -11 7

1 8 - 5

A의 역행렬 = adjA / |A| = -1 -9 6

1 11 -7

3 -1 -3 1 8 - 5 1 0 0

검증 = A x inverse A = 단위행렬(I) = 1 2 1 X -1 -9 6 = 0 1 0

2 3 1 1 11 -7 0 0 1

AX = B 행렬의 미지수행렬 X (x,y,z)구하기 = X = B/A = 1/A x B = A의 역행렬 x B

1 8 - 5 -1 x = 3

미지수의 해 구하기 = -1 -9 6 X 3 = y = -2

1 11 -7 4 z = 4

Ps. 크래머의 공식으로도 같은 해를 구할 수 있다. 여기도 핵심은

n차 정방행렬A(aij) 의 i 한행에 대한 aij x 여인수 전개 = Σ[j=1:n] (aij * (-1)(i+j)^2 * 소행렬식Mij) 로 미지수행렬 X를 구하할 수 있습니다.